\(\int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [265]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 398 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\left (6 a A b-12 a^2 B-b^2 B\right ) x}{2 b^5}+\frac {a^2 \left (6 a^4 A b-15 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+29 a^3 b^2 B-20 a b^4 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-1/2*(6*A*a*b-12*B*a^2-B*b^2)*x/b^5+a^2*(6*A*a^4*b-15*A*a^2*b^3+12*A*b^5-12*B*a^5+29*B*a^3*b^2-20*B*a*b^4)*arc
tan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(5/2)/b^5/(a+b)^(5/2)/d+1/2*(6*A*a^4*b-11*A*a^2*b^3+2*A*
b^5-12*B*a^5+21*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)*sin(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^2/d-1/2*(3*A*a^3*b-6*A*a*b^3-6*B*a^4+10*B*a^2*b^
2-B*b^4)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2)^2/d+1/2*a*(A*b-B*a)*cos(d*x+c)^3*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*co
s(d*x+c))^2+1/2*a*(2*A*a^2*b-5*A*b^3-4*B*a^3+7*B*a*b^2)*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x
+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 1.87 (sec) , antiderivative size = 398, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.226, Rules used = {3068, 3126, 3128, 3102, 2814, 2738, 211} \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {a (A b-a B) \sin (c+d x) \cos ^3(c+d x)}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {x \left (-12 a^2 B+6 a A b-b^2 B\right )}{2 b^5}+\frac {a \left (-4 a^3 B+2 a^2 A b+7 a b^2 B-5 A b^3\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (-6 a^4 B+3 a^3 A b+10 a^2 b^2 B-6 a A b^3-b^4 B\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {a^2 \left (-12 a^5 B+6 a^4 A b+29 a^3 b^2 B-15 a^2 A b^3-20 a b^4 B+12 A b^5\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}}+\frac {\left (-12 a^5 B+6 a^4 A b+21 a^3 b^2 B-11 a^2 A b^3-6 a b^4 B+2 A b^5\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

-1/2*((6*a*A*b - 12*a^2*B - b^2*B)*x)/b^5 + (a^2*(6*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 29*a^3*b^2*
B - 20*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*
a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 12*a^5*B + 21*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)
- ((3*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 6*a^4*B + 10*a^2*b^2*B - b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)
+ (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2*A*b - 5*
A*b^3 - 4*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2814

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3068

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1
)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Si
n[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(m - 1) + a*d*(a*A*c + b*B*c -
(A*b + a*B)*d)*(n + 1) + (b*(b*d*(B*c - A*d) + a*(A*c*d + B*(c^2 - 2*d^2)))*(n + 1) - a*(b*c - a*d)*(B*c - A*
d)*(n + 2))*Sin[e + f*x] + b*(d*(A*b*c + a*B*c - a*A*d)*(m + n + 1) - b*B*(c^2*m + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^
2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2
, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1]

Rule 3102

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(
b*(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3126

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)
*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
(c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*
c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3128

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*
x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n +
2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d
^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (-3 a (A b-a B)+2 b (A b-a B) \cos (c+d x)+2 \left (a A b-2 a^2 B+b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right )+b \left (a^2 A b+2 A b^3+a^3 B-4 a b^2 B\right ) \cos (c+d x)-2 \left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-2 a \left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right )+2 b \left (a^3 A b-4 a A b^3-2 a^4 B+4 a^2 b^2 B+b^4 B\right ) \cos (c+d x)+2 \left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {-2 a b \left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right )-2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (6 a A b-12 a^2 B-b^2 B\right ) \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (6 a A b-12 a^2 B-b^2 B\right ) x}{2 b^5}+\frac {\left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 \left (6 a^4 A b-15 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+29 a^3 b^2 B-20 a b^4 B\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (6 a A b-12 a^2 B-b^2 B\right ) x}{2 b^5}+\frac {\left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 \left (6 a^4 A b-15 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+29 a^3 b^2 B-20 a b^4 B\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = -\frac {\left (6 a A b-12 a^2 B-b^2 B\right ) x}{2 b^5}+\frac {a^2 \left (6 a^4 A b-15 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+29 a^3 b^2 B-20 a b^4 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 A b-11 a^2 A b^3+2 A b^5-12 a^5 B+21 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 A b-6 a A b^3-6 a^4 B+10 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {a (A b-a B) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a \left (2 a^2 A b-5 A b^3-4 a^3 B+7 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 3.66 (sec) , antiderivative size = 734, normalized size of antiderivative = 1.84 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\frac {16 a^2 \left (-6 a^4 A b+15 a^2 A b^3-12 A b^5+12 a^5 B-29 a^3 b^2 B+20 a b^4 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{5/2}}+\frac {-48 a^7 A b c+72 a^5 A b^3 c-24 a A b^7 c+96 a^8 B c-136 a^6 b^2 B c-12 a^4 b^4 B c+48 a^2 b^6 B c+4 b^8 B c-48 a^7 A b d x+72 a^5 A b^3 d x-24 a A b^7 d x+96 a^8 B d x-136 a^6 b^2 B d x-12 a^4 b^4 B d x+48 a^2 b^6 B d x+4 b^8 B d x+16 a b \left (a^2-b^2\right )^2 \left (-6 a A b+12 a^2 B+b^2 B\right ) (c+d x) \cos (c+d x)+4 \left (-a^2 b+b^3\right )^2 \left (-6 a A b+12 a^2 B+b^2 B\right ) (c+d x) \cos (2 (c+d x))+48 a^6 A b^2 \sin (c+d x)-84 a^4 A b^4 \sin (c+d x)+8 a^2 A b^6 \sin (c+d x)+4 A b^8 \sin (c+d x)-96 a^7 b B \sin (c+d x)+160 a^5 b^3 B \sin (c+d x)-32 a^3 b^5 B \sin (c+d x)-8 a b^7 B \sin (c+d x)+36 a^5 A b^3 \sin (2 (c+d x))-64 a^3 A b^5 \sin (2 (c+d x))+16 a A b^7 \sin (2 (c+d x))-72 a^6 b^2 B \sin (2 (c+d x))+130 a^4 b^4 B \sin (2 (c+d x))-48 a^2 b^6 B \sin (2 (c+d x))+2 b^8 B \sin (2 (c+d x))+4 a^4 A b^4 \sin (3 (c+d x))-8 a^2 A b^6 \sin (3 (c+d x))+4 A b^8 \sin (3 (c+d x))-8 a^5 b^3 B \sin (3 (c+d x))+16 a^3 b^5 B \sin (3 (c+d x))-8 a b^7 B \sin (3 (c+d x))+a^4 b^4 B \sin (4 (c+d x))-2 a^2 b^6 B \sin (4 (c+d x))+b^8 B \sin (4 (c+d x))}{\left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}}{16 b^5 d} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

((16*a^2*(-6*a^4*A*b + 15*a^2*A*b^3 - 12*A*b^5 + 12*a^5*B - 29*a^3*b^2*B + 20*a*b^4*B)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c
+ d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(5/2) + (-48*a^7*A*b*c + 72*a^5*A*b^3*c - 24*a*A*b^7*c + 96*a^8*B*
c - 136*a^6*b^2*B*c - 12*a^4*b^4*B*c + 48*a^2*b^6*B*c + 4*b^8*B*c - 48*a^7*A*b*d*x + 72*a^5*A*b^3*d*x - 24*a*A
*b^7*d*x + 96*a^8*B*d*x - 136*a^6*b^2*B*d*x - 12*a^4*b^4*B*d*x + 48*a^2*b^6*B*d*x + 4*b^8*B*d*x + 16*a*b*(a^2
- b^2)^2*(-6*a*A*b + 12*a^2*B + b^2*B)*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 4*(-(a^2*b) + b^3)^2*(-6*a*A*b + 12*a^2*B + b^
2*B)*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] + 48*a^6*A*b^2*Sin[c + d*x] - 84*a^4*A*b^4*Sin[c + d*x] + 8*a^2*A*b^6*Sin[c +
d*x] + 4*A*b^8*Sin[c + d*x] - 96*a^7*b*B*Sin[c + d*x] + 160*a^5*b^3*B*Sin[c + d*x] - 32*a^3*b^5*B*Sin[c + d*x]
- 8*a*b^7*B*Sin[c + d*x] + 36*a^5*A*b^3*Sin[2*(c + d*x)] - 64*a^3*A*b^5*Sin[2*(c + d*x)] + 16*a*A*b^7*Sin[2*(
c + d*x)] - 72*a^6*b^2*B*Sin[2*(c + d*x)] + 130*a^4*b^4*B*Sin[2*(c + d*x)] - 48*a^2*b^6*B*Sin[2*(c + d*x)] + 2
*b^8*B*Sin[2*(c + d*x)] + 4*a^4*A*b^4*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a^2*A*b^6*Sin[3*(c + d*x)] + 4*A*b^8*Sin[3*(c + d*x
)] - 8*a^5*b^3*B*Sin[3*(c + d*x)] + 16*a^3*b^5*B*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a*b^7*B*Sin[3*(c + d*x)] + a^4*b^4*B*Sin
[4*(c + d*x)] - 2*a^2*b^6*B*Sin[4*(c + d*x)] + b^8*B*Sin[4*(c + d*x)])/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2))
/(16*b^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 1.93 (sec) , antiderivative size = 402, normalized size of antiderivative = 1.01

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {2 a^{2} \left (\frac {\frac {\left (4 A \,a^{2} b -A a \,b^{2}-8 A \,b^{3}-6 B \,a^{3}+B \,a^{2} b +10 B a \,b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (4 A \,a^{2} b +A a \,b^{2}-8 A \,b^{3}-6 B \,a^{3}-B \,a^{2} b +10 B a \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (6 A \,a^{4} b -15 A \,a^{2} b^{3}+12 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+29 B \,a^{3} b^{2}-20 B a \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}-\frac {2 \left (\frac {\left (-A \,b^{2}+3 B a b +\frac {1}{2} B \,b^{2}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (-A \,b^{2}+3 B a b -\frac {1}{2} B \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\frac {\left (6 A a b -12 B \,a^{2}-B \,b^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2}\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(402\)
default	\(\frac {\frac {2 a^{2} \left (\frac {\frac {\left (4 A \,a^{2} b -A a \,b^{2}-8 A \,b^{3}-6 B \,a^{3}+B \,a^{2} b +10 B a \,b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (4 A \,a^{2} b +A a \,b^{2}-8 A \,b^{3}-6 B \,a^{3}-B \,a^{2} b +10 B a \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (6 A \,a^{4} b -15 A \,a^{2} b^{3}+12 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+29 B \,a^{3} b^{2}-20 B a \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{5}}-\frac {2 \left (\frac {\left (-A \,b^{2}+3 B a b +\frac {1}{2} B \,b^{2}\right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (-A \,b^{2}+3 B a b -\frac {1}{2} B \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\frac {\left (6 A a b -12 B \,a^{2}-B \,b^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2}\right )}{b^{5}}}{d}\)	\(402\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1509\)

[In]

int(cos(d*x+c)^4*(A+B*cos(d*x+c))/(a+cos(d*x+c)*b)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2*a^2/b^5*((1/2*(4*A*a^2*b-A*a*b^2-8*A*b^3-6*B*a^3+B*a^2*b+10*B*a*b^2)*a*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*
d*x+1/2*c)^3+1/2*b*a*(4*A*a^2*b+A*a*b^2-8*A*b^3-6*B*a^3-B*a^2*b+10*B*a*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c))/
(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^2+1/2*(6*A*a^4*b-15*A*a^2*b^3+12*A*b^5-12*B*a^5+29*B*a^3*b
^2-20*B*a*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-2
/b^5*(((-A*b^2+3*B*a*b+1/2*B*b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+(-A*b^2+3*B*a*b-1/2*B*b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(1+tan(1
/2*d*x+1/2*c)^2)^2+1/2*(6*A*a*b-12*B*a^2-B*b^2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 871 vs. \(2 (378) = 756\).

Time = 0.50 (sec) , antiderivative size = 1812, normalized size of antiderivative = 4.55 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+B*cos(d*x+c))/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(2*(12*B*a^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 35*B*a^6*b^4 + 18*A*a^5*b^5 + 33*B*a^4*b^6 - 18*A*a^3*b^7 - 9*B*a^2*b^8
+ 6*A*a*b^9 - B*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 4*(12*B*a^9*b - 6*A*a^8*b^2 - 35*B*a^7*b^3 + 18*A*a^6*b^4 + 33*B*a^
5*b^5 - 18*A*a^4*b^6 - 9*B*a^3*b^7 + 6*A*a^2*b^8 - B*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 2*(12*B*a^10 - 6*A*a^9*b - 35*B
*a^8*b^2 + 18*A*a^7*b^3 + 33*B*a^6*b^4 - 18*A*a^5*b^5 - 9*B*a^4*b^6 + 6*A*a^3*b^7 - B*a^2*b^8)*d*x + (12*B*a^9
- 6*A*a^8*b - 29*B*a^7*b^2 + 15*A*a^6*b^3 + 20*B*a^5*b^4 - 12*A*a^4*b^5 + (12*B*a^7*b^2 - 6*A*a^6*b^3 - 29*B*
a^5*b^4 + 15*A*a^4*b^5 + 20*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*B*a^8*b - 6*A*a^7*b^2 - 29*B*a^6*
b^3 + 15*A*a^5*b^4 + 20*B*a^4*b^5 - 12*A*a^3*b^6)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*
a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x +
c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 2*(12*B*a^9*b - 6*A*a^8*b^2 - 33*B*a^7*b^3 + 17*A*a^6*b^4 + 27*B*a^5*b^5
- 13*A*a^4*b^6 - 6*B*a^3*b^7 + 2*A*a^2*b^8 - (B*a^6*b^4 - 3*B*a^4*b^6 + 3*B*a^2*b^8 - B*b^10)*cos(d*x + c)^3 +
2*(2*B*a^7*b^3 - A*a^6*b^4 - 6*B*a^5*b^5 + 3*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 3*A*a^2*b^8 - 2*B*a*b^9 + A*b^10)*cos(
d*x + c)^2 + (18*B*a^8*b^2 - 9*A*a^7*b^3 - 50*B*a^6*b^4 + 25*A*a^5*b^5 + 43*B*a^4*b^6 - 20*A*a^3*b^7 - 11*B*a^
2*b^8 + 4*A*a*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2 + 2
*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d),
1/2*((12*B*a^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 35*B*a^6*b^4 + 18*A*a^5*b^5 + 33*B*a^4*b^6 - 18*A*a^3*b^7 - 9*B*a^2*b^8 +
6*A*a*b^9 - B*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*B*a^9*b - 6*A*a^8*b^2 - 35*B*a^7*b^3 + 18*A*a^6*b^4 + 33*B*a^5*
b^5 - 18*A*a^4*b^6 - 9*B*a^3*b^7 + 6*A*a^2*b^8 - B*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + (12*B*a^10 - 6*A*a^9*b - 35*B*a^8
*b^2 + 18*A*a^7*b^3 + 33*B*a^6*b^4 - 18*A*a^5*b^5 - 9*B*a^4*b^6 + 6*A*a^3*b^7 - B*a^2*b^8)*d*x - (12*B*a^9 - 6
*A*a^8*b - 29*B*a^7*b^2 + 15*A*a^6*b^3 + 20*B*a^5*b^4 - 12*A*a^4*b^5 + (12*B*a^7*b^2 - 6*A*a^6*b^3 - 29*B*a^5*
b^4 + 15*A*a^4*b^5 + 20*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*B*a^8*b - 6*A*a^7*b^2 - 29*B*a^6*b^3
+ 15*A*a^5*b^4 + 20*B*a^4*b^5 - 12*A*a^3*b^6)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt
(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (12*B*a^9*b - 6*A*a^8*b^2 - 33*B*a^7*b^3 + 17*A*a^6*b^4 + 27*B*a^5*b^5 - 13*A*a^4
*b^6 - 6*B*a^3*b^7 + 2*A*a^2*b^8 - (B*a^6*b^4 - 3*B*a^4*b^6 + 3*B*a^2*b^8 - B*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 2*(2*B*a^
7*b^3 - A*a^6*b^4 - 6*B*a^5*b^5 + 3*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 3*A*a^2*b^8 - 2*B*a*b^9 + A*b^10)*cos(d*x + c)^2
+ (18*B*a^8*b^2 - 9*A*a^7*b^3 - 50*B*a^6*b^4 + 25*A*a^5*b^5 + 43*B*a^4*b^6 - 20*A*a^3*b^7 - 11*B*a^2*b^8 + 4*
A*a*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^6
- 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**4*(A+B*cos(d*x+c))/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+B*cos(d*x+c))/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2712 vs. \(2 (378) = 756\).

Time = 0.54 (sec) , antiderivative size = 2712, normalized size of antiderivative = 6.81 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+B*cos(d*x+c))/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*((3*(2*a^5*b - a^4*b^2 - 4*a^3*b^3 + 2*a^2*b^4 + 2*a*b^5)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)
*abs(-a + b) - (12*a^6 - 6*a^5*b - 23*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 - a*b^5 + b^6)*sqrt(a^2 - b^2)*B*abs(a
^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*abs(-a + b) + 3*(4*a^10*b^5 - 2*a^9*b^6 - 17*a^8*b^7 + 8*a^7*b^8 + 28*a^6*b^9 - 12*a
^5*b^10 - 21*a^4*b^11 + 8*a^3*b^12 + 6*a^2*b^13 - 2*a*b^14)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(-a + b) - (24*a^11*b^4 - 12*
a^10*b^5 - 100*a^9*b^6 + 47*a^8*b^7 + 158*a^7*b^8 - 68*a^6*b^9 - 111*a^5*b^10 + 42*a^4*b^11 + 28*a^3*b^12 - 8*
a^2*b^13 + a*b^14 - b^15)*sqrt(a^2 - b^2)*B*abs(-a + b))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(2*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 + sqrt(-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + a*b
^8 + b^9)*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2))/(a^
5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)^2*(a^2 - 2*a*b + b^2) +
(a^7*b^4 - 2*a^6*b^5 - a^5*b^6 + 4*a^4*b^7 - a^3*b^8 - 2*a^2*b^9 + a*b^10)*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)) +
(24*B*a^11*b^4 - 12*A*a^10*b^5 - 12*B*a^10*b^5 + 6*A*a^9*b^6 - 100*B*a^9*b^6 + 51*A*a^8*b^7 + 47*B*a^8*b^7 - 2
4*A*a^7*b^8 + 158*B*a^7*b^8 - 84*A*a^6*b^9 - 68*B*a^6*b^9 + 36*A*a^5*b^10 - 111*B*a^5*b^10 + 63*A*a^4*b^11 + 4
2*B*a^4*b^11 - 24*A*a^3*b^12 + 28*B*a^3*b^12 - 18*A*a^2*b^13 - 8*B*a^2*b^13 + 6*A*a*b^14 + B*a*b^14 - B*b^15 -
12*B*a^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*A*a^5*b*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*B*a^5*b*abs(a^4*b^5 -
2*a^2*b^7 + b^9) - 3*A*a^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 23*B*a^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) -
12*A*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 10*B*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*A*a^2*b^4*abs(a^
4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 10*B*a^2*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*A*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b
^9) + B*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - B*b^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/p
i + 1/2) + arctan(2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 - sqrt(-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 -
2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + a*b^8 + b^9)*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4
- 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2))/(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/(a^5*b^4*abs(a^4*b^5 - 2
*a^2*b^7 + b^9) - 2*a^3*b^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + a*b^8*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - (a^4*b^5 -
2*a^2*b^7 + b^9)^2) - 2*(12*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 6*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*B*a^6*b*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*A*a^4*b^3*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 16*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*B*a^3*b^4
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*A*a*b^6
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + B*b^7*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^7 + 36*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 + 9*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 67*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 35*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^5 + 29*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 16*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 26*B*a^3*b^4*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^5 - 10*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 5*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*A*a*b^6*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^5 - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 2*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^5 + 36*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 18*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^3 - 9*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 35*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2
*c)^3 - 29*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^3 - 10*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*A*a*b^6*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^3 - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 2*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
+ 12*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 9*A*a^5*
b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 17*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 9*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 33*B*a^4*b^3
*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 16*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*A*a^2*b^5*tan
(1/2*d*x + 1/2*c) + 13*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) - 2*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*(a*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 2*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 12.39 (sec) , antiderivative size = 10598, normalized size of antiderivative = 26.63 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+B \cos (c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^4*(A + B*cos(c + d*x)))/(a + b*cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*B*b^7 - 36*B*a^7 - 2*A*b^7 + 10*A*a^2*b^5 + 16*A*a^3*b^4 - 35*A*a^4*b^3 - 9*A*a^5*b^
2 + 5*B*a^2*b^5 - 26*B*a^3*b^4 - 29*B*a^4*b^3 + 67*B*a^5*b^2 - 4*A*a*b^6 + 18*A*a^6*b + 4*B*a*b^6 + 18*B*a^6*b
))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(2*A*b^7 + 36*B*a^7 + 3*B*b^7 - 10*A*a^2*b^5
+ 16*A*a^3*b^4 + 35*A*a^4*b^3 - 9*A*a^5*b^2 + 5*B*a^2*b^5 + 26*B*a^3*b^4 - 29*B*a^4*b^3 - 67*B*a^5*b^2 - 4*A*a
*b^6 - 18*A*a^6*b - 4*B*a*b^6 + 18*B*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(B*
b^6 - 12*B*a^6 - 2*A*b^6 + 4*A*a^2*b^4 - 12*A*a^3*b^3 - 3*A*a^4*b^2 - 8*B*a^2*b^4 - 10*B*a^3*b^3 + 23*B*a^4*b^
2 + 2*A*a*b^5 + 6*A*a^5*b + 5*B*a*b^5 + 6*B*a^5*b))/((a*b^4 - b^5)*(a + b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*A*b^6 -
12*B*a^6 + B*b^6 - 4*A*a^2*b^4 - 12*A*a^3*b^3 + 3*A*a^4*b^2 - 8*B*a^2*b^4 + 10*B*a^3*b^3 + 23*B*a^4*b^2 + 2*A
*a*b^5 + 6*A*a^5*b - 5*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/((a + b)*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)))/(d*(2*a*b + tan(c/2 + (d*x)/
2)^4*(6*a^2 - 2*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*a^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*a^2) + tan(c/2 +
(d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2)) + (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^
2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^
6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12
*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^
7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*
b^13 - 288*A*B*a^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*
b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*
a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (((4*(4*B
*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*
A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16
+ 164*B*a^6*b^15 - 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a
*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15
- 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a
^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))/(2*b^5))*(B*a^2*12
i + B*b^2*1i - A*a*b*6i)*1i)/(2*b^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B
^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*
a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^
2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*
b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a
^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^
7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^
14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2
*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*
A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15
- 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18
+ b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(B*a
^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 -
32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*
b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))/(2*b^5))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A
*a*b*6i)*1i)/(2*b^5))/((8*(1728*B^3*a^15 - 864*B^3*a^14*b - 432*A^3*a^4*b^11 - 432*A^3*a^5*b^10 + 1404*A^3*a^6
*b^9 + 756*A^3*a^7*b^8 - 1728*A^3*a^8*b^7 - 486*A^3*a^9*b^6 + 972*A^3*a^10*b^5 + 108*A^3*a^11*b^4 - 216*A^3*a^
12*b^3 + 20*B^3*a^3*b^12 - 20*B^3*a^4*b^11 + 411*B^3*a^5*b^10 - 11*B^3*a^6*b^9 + 1314*B^3*a^7*b^8 + 2326*B^3*a
^8*b^7 - 7829*B^3*a^9*b^6 - 4770*B^3*a^10*b^5 + 11700*B^3*a^11*b^4 + 3456*B^3*a^12*b^3 - 7344*B^3*a^13*b^2 - 2
592*A*B^2*a^14*b - 12*A*B^2*a^2*b^13 + 12*A*B^2*a^3*b^12 - 489*A*B^2*a^4*b^11 + 9*A*B^2*a^5*b^10 - 2892*A*B^2*
a^6*b^9 - 3972*A*B^2*a^7*b^8 + 13347*A*B^2*a^8*b^7 + 7767*A*B^2*a^9*b^6 - 18594*A*B^2*a^10*b^5 - 5400*A*B^2*a^
11*b^4 + 11232*A*B^2*a^12*b^3 + 1296*A*B^2*a^13*b^2 + 144*A^2*B*a^3*b^12 + 1980*A^2*B*a^5*b^10 + 2268*A^2*B*a^
6*b^9 - 7524*A^2*B*a^7*b^8 - 4203*A^2*B*a^8*b^7 + 9828*A^2*B*a^9*b^6 + 2808*A^2*B*a^10*b^5 - 5724*A^2*B*a^11*b
^4 - 648*A^2*B*a^12*b^3 + 1296*A^2*B*a^13*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*
b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b
+ 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 +
441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 -
40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 153
8*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a^13*b + 2
4*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1
632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15
- 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 7
2*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^1
2 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15 - 360*B*
a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 -
3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(B*a^2*12i +
B*b^2*1i - A*a*b*6i)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b
^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*
a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))/(2*b^5))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))
/(2*b^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12
- 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 +
288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 7
4*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 153
8*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 10
8*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1
650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a
^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*
A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11
+ 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15 - 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^
8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*
b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i
)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 +
8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9
- a^7*b^8)))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))/(2*b^5))*(B*a^2*12i + B*b^2*1i - A*a*b*6i))/(2*b^5)))*(B*a^2*1
2i + B*b^2*1i - A*a*b*6i)*1i)/(b^5*d) + (a^2*atan(((a^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(2
88*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 +
288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 -
72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18
*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 -
1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 7
2*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 +
1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a
^6*b^9 - a^7*b^8) + (a^2*((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*
A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 -
120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15 - 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^
10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 -
a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*
b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15
- 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*
a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 -
a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B
*a*b^4))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*
A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^
8*b^7 - a^10*b^5)) + (a^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2
*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6
*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*
b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7
- 827*B^2*a^8*b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b
^13 - 288*A*B*a^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b
^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a
^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a^2*((4*(
4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 1
08*A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^
16 + 164*B*a^6*b^15 - 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*
A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a^2*
tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b
- 20*B*a*b^4)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 +
32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5
)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b
)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13
+ 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A
*a^4*b - 20*B*a*b^4)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))/((8*(1728*
B^3*a^15 - 864*B^3*a^14*b - 432*A^3*a^4*b^11 - 432*A^3*a^5*b^10 + 1404*A^3*a^6*b^9 + 756*A^3*a^7*b^8 - 1728*A^
3*a^8*b^7 - 486*A^3*a^9*b^6 + 972*A^3*a^10*b^5 + 108*A^3*a^11*b^4 - 216*A^3*a^12*b^3 + 20*B^3*a^3*b^12 - 20*B^
3*a^4*b^11 + 411*B^3*a^5*b^10 - 11*B^3*a^6*b^9 + 1314*B^3*a^7*b^8 + 2326*B^3*a^8*b^7 - 7829*B^3*a^9*b^6 - 4770
*B^3*a^10*b^5 + 11700*B^3*a^11*b^4 + 3456*B^3*a^12*b^3 - 7344*B^3*a^13*b^2 - 2592*A*B^2*a^14*b - 12*A*B^2*a^2*
b^13 + 12*A*B^2*a^3*b^12 - 489*A*B^2*a^4*b^11 + 9*A*B^2*a^5*b^10 - 2892*A*B^2*a^6*b^9 - 3972*A*B^2*a^7*b^8 + 1
3347*A*B^2*a^8*b^7 + 7767*A*B^2*a^9*b^6 - 18594*A*B^2*a^10*b^5 - 5400*A*B^2*a^11*b^4 + 11232*A*B^2*a^12*b^3 +
1296*A*B^2*a^13*b^2 + 144*A^2*B*a^3*b^12 + 1980*A^2*B*a^5*b^10 + 2268*A^2*B*a^6*b^9 - 7524*A^2*B*a^7*b^8 - 420
3*A^2*B*a^8*b^7 + 9828*A^2*B*a^9*b^6 + 2808*A^2*B*a^10*b^5 - 5724*A^2*B*a^11*b^4 - 648*A^2*B*a^12*b^3 + 1296*A
^2*B*a^13*b^2))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (a
^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*
b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7
+ 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 -
40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^10 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 15
38*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a^13*b +
24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^11 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 +
1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^1
5 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a^2*((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^1
9 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^17 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*A*a^
9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15 - 3
60*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 + 212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^
19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a
+ b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4)*(8*a*b^1
9 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^1
1 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^
2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 -
12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6
*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4))/(
2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(
(8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(288*B^2*a^14 + B^2*b^14 - 2*B^2*a*b^13 - 288*B^2*a^13*b + 36*A^2*a^2*b^12 - 72*A^2*a^3*
b^11 + 36*A^2*a^4*b^10 + 288*A^2*a^5*b^9 - 288*A^2*a^6*b^8 - 432*A^2*a^7*b^7 + 441*A^2*a^8*b^6 + 288*A^2*a^9*b
^5 - 288*A^2*a^10*b^4 - 72*A^2*a^11*b^3 + 72*A^2*a^12*b^2 + 21*B^2*a^2*b^12 - 40*B^2*a^3*b^11 + 74*B^2*a^4*b^1
0 - 108*B^2*a^5*b^9 + 18*B^2*a^6*b^8 + 872*B^2*a^7*b^7 - 827*B^2*a^8*b^6 - 1538*B^2*a^9*b^5 + 1538*B^2*a^10*b^
4 + 1104*B^2*a^11*b^3 - 1104*B^2*a^12*b^2 - 12*A*B*a*b^13 - 288*A*B*a^13*b + 24*A*B*a^2*b^12 - 108*A*B*a^3*b^1
1 + 192*A*B*a^4*b^10 - 72*A*B*a^5*b^9 - 1008*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 + 1632*A*B*a^8*b^6 - 1650*A*B*a^9*b
^5 - 1128*A*B*a^10*b^4 + 1128*A*B*a^11*b^3 + 288*A*B*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a
^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a^2*((4*(4*B*b^21 + 48*A*a^2*b^19 + 72*A*a^3*b^18 - 156*A*a^4*b^1
7 - 84*A*a^5*b^16 + 192*A*a^6*b^15 + 48*A*a^7*b^14 - 108*A*a^8*b^13 - 12*A*a^9*b^12 + 24*A*a^10*b^11 + 28*B*a^
2*b^19 - 80*B*a^3*b^18 - 120*B*a^4*b^17 + 276*B*a^5*b^16 + 164*B*a^6*b^15 - 360*B*a^7*b^14 - 100*B*a^8*b^13 +
212*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 - 48*B*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*
a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^
5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32
*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*
b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11
+ 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^
3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(1
2*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 29*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^1
1 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 15*A*a^2*b^3 + 2
9*B*a^3*b^2 + 6*A*a^4*b - 20*B*a*b^4)*1i)/(d*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*
b^5))